[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Escríbanse tres treses de forma que adquieran su máximo valor sin emplear ningún signo. Solución 3 La potencia de potencia no ofrece aquí el efecto deseado porque 33 , es decir, 327 es menor que 333. La última disposición de los treses es la que responde a la pregunta formulada. Volver 15. Los tres cuatros Problema Escríbanse tres cuatros de forma que adquieran su máximo valor sin recurrir a signos. Solución Si se sigue el ejemplo de los dos ejercicios anteriores, es decir, 444 no se obtiene la solución más favorable, puesto que en este caso, la potencia de potencia, 4 44 proporciona el valor máximo posible. Ya que 44 =256, y 4256 es mayor que 444. Volver 16. Con tres cifras iguales Procuremos profundizar en este intrigante fenómeno y aclarar por qué, cuando con las cifras se establece una potencia de potencia, unas veces se obtienen números enormemente altos y otras, no. Examinemos el caso general.. Obténgase el número más elevado posible dado por tres cifras iguales prescindiendo de todo signo. Representemos la cifra con la letra a. A la distribución 222, 333, 444 corresponde la expresión a(10a + a) , es decir a11a La potencia de potencia, en su aspecto general, se presenta así: Patricio Barros Algebra Recreativa Yakov Perelman aa a Determinemos cuál ha de ser el valor de a para que la última variante sea de mayor magnitud que la primera. Como quiera que ambas potencias tienen idéntica base entera, a mayor exponente corresponderá mayor valor. ¿En qué caso aa > 11a? Dividamos ambos miembros de la desigualdad por a, y tendremos aa-1 > 11. Es fácil determinar que aa-1 es mayor que 11 sólo en el caso en que a sea mayor que 3, puesto que 44 - 1 > 11 en tanto que las potencias 32 y 21 son menores que 11. Quedan, pues, explicadas las sorpresas con que hemos tropezado al resolver los problemas precedentes: para los doses y los treses había que servirse de potencias con exponentes de dos cifras, para los cuatros y cifras mayores tiene que emplearse la potencia de potencia Volver 17. Los cuatro unos Problema Obténgase la cantidad más elevada posible con cuatro unos sin emplear ningún signo. Solución El número 1.111 no responde a las exigencias del problema, por ser mucho más pequeño que 1111 Sería muy laborioso encontrar este número mediante 11 multiplicaciones consecutivas por 11. Sin embargo, puede hacerse el cálculo con mucha mayor rapidez utilizando las tablas de logaritmos. Este número rebasa los 285 000 millones y, por lo tanto, es más de 25 millones de veces mayor que 1.111. Volver 18. Los cuatro doses Problema Resolvamos este problema tratándose de doses. ¿Cómo deben disponerse cuatro doses para que adquieran su máximo valor? Patricio Barros Algebra Recreativa Yakov Perelman Solución Las combinaciones posibles son 8: 2222, 2222, 2222, 2222, ((22)2 )2 , ((2)22 )2, ((2)2)22, (((2)2 )2 )2 ¿Cuál de estos valores es el mayor? Examinemos la primera fila. El primer número, 2.222, es a todas luces menor que las tres potencias que le siguen. Para establecer una comparación entre las dos siguientes 2222 y 2222, transformemos la segunda de ellas: 2222 = 222*11 = (222)11 = 48411. Esta última es mayor que 2222, ya que tanto la base como el exponente son mayores que los de 2222. Comparemos ahora 2222 con 2222 . Sustituyamos 2222 por otra magnitud superior, 3222 y veremos que incluso ésta es menor que 2222. En efecto, 3222 = (25)22 = 2110 que es menor que 2222. Quedamos, pues, en que el valor más elevado de la primera fila es 2222. Comparemos ahora la mayor potencia de la primera fila y las cuatro de la segunda: ((22)2 )2 , ((2)22 )2, ((2)2)22, (((2)2 )2 )2 La última potencia es sólo igual a 216, por lo que queda eliminada. Prosigamos. La primera de esta fila equivale a 224 y es menor que 324 o que 220, por cuya razón es inferior a las dos que la siguen. Quedan sólo tres potencias a comparar, todas de base 2. Es evidente que será mayor aquella que tenga mayor exponente. De los tres 222, 484 y 220+2 (= 210*2 * 22 H"106 * 4) el último es el mayor. Por eso, el valor más elevado que pueden tomar los cuatro doses vendrá expresado como sigue: ((2)2)22 Sin recurrir a la tabla de logaritmos podernos imaginarnos aproximadamente la magnitud de esta potencia valiéndonos de un número aproximado: Patricio Barros Algebra Recreativa Yakov Perelman 210 H" 1 000. Y así es, en efecto: 222=220 * 22 H" 4 * 106 ((2)2)22 H" 24000000 > 101200000. Este número consta de más de un millón de cifras. Volver Patricio Barros [ Pobierz caÅ‚ość w formacie PDF ] |